Voici un algorithme en trois étapes :
Étape 1 : Choisir un nombre de départ entier positif non nul.
Étape 2 : Calculer la somme des carrés de ses chiffres et écrire le résultat obtenu.
Étape 3 : Répéter l’étape 2 avec le résultat précédent.
En exécutant cet algorithme, on obtient une suite de nombres.
– Si l’un des nombres de cette suite est 1, alors l’algorithme s’arrête et le nombre de départ est un « nombre heureux ».
– Si l’un des nombres de cette suite se répète, alors l’algorithme s’arrête et le nombre de départ est un « nombre joyeux ».
Voici deux exemples :
– en choisissant 70 comme nombre de départ : 72+ 02 = 49 ; 42 + 92 = 97 ; 92 + 72 = 130 ; 12 + 32 + 02 = 10 et 12 + 02 = 1.
On obtient 1, donc 70 est un « nombre heureux ».
– en choisissant 40 comme nombre de départ, on obtient la suite de nombres suivante : 16 – 37 – 58 – 89 – 145 – 42 – 20 – 4 – 16.
Le nombre 16 se répète donc 40 est un « nombre joyeux ».
Trouver les cinq « nombres heureux » inférieurs à 20.
Thomas affirme que l’année 2021 est une « année heureuse » car 2021 est « nombre heureux ».
A-t-il raison ? Sinon, quelle sera la prochaine « année heureuse » ? Justifier.
Références : niveau 3e , épreuve définitive 2021 , exercice N° 3
Principaux éléments mathématiques : chiffre et nombre ; carré d’un entier
Capacités : exécuter un algorithme
Tâches de l’élève : éviter des calculs inutiles ; exploiter les résultats ...
Difficulté : *
solution (voir exercice 3)